Simulation des Spieles "Mondlandung" auf einem Analogrechner

Rainer Glaschick, Paderborn
2013-08-07

Theorie

Zahlenwerte sind:

Anfangsgeschwindigkeit v₀

25 m s^-1 (90 k m h^-1)

Anfangshöhe h₀

200 m

Mond-Gravitation g_m

1.6 * m s^-2

Bewegungsgleichungen:

v(t) = v₀ + int_0^t a(t) dt

h(t) = h₀ + int_0^t v(t) dt

1. Konstante Beschleunigung

Bei konstanter Beschleunigung ergibt dies:

v(t) = v₀ + a*t

h(t) = h₀ + 1/2 * a * t²

Am Landepunkt bei t=t₁ soll der Weg und die Geschwindigkeit Null sein:

0 = v₀ + a t₁

0 = h₀ + v₀ t₁ + 1/2 a t₁ ²

Ersetzen von a = - v₀ / t₁:

0 = h₀ + v₀ * t₁ - 1/2 * v₀ * t₁

0 = h₀ + 1/2 * v₀ * t₁

t₁ = 2 x₀ / -v₀

v₀ ist negativ, da die Höhe abnimmt, also:

t₁ = (400 * m) / (25 * m s^-1) = 16 s

a₁ = (25 * m s^-1) / (16 * s) = 1.6 *m s^-2

Das ist die gesamte Beschleunigung vom Mond fort, also kommt die Gravitation hinzu:

a₁ = a + g_m = 3.2 * m s^-2 = 0.33 g

Das Triebwerk muss also mindestens ein Produkt aus Zeit und Beschleunigung von 16s * 0.33g = 5.3 gs = 52 ms^-1 liefern; dies wird auch als massenspezifischer Impuls bezeichnet.

Allerdings sollte die Treibstoffanzeige in Liter erfolgen; der Schubregler könnte in Prozent bei einem Maximalwert einer Beschleunigung von 1g liegen.

Bei einem Verbrauch von 20l/s bei 1g und demgemäß von 7l/s bei 0.33 g werden mind. 112 l benötigt; der Anfangsvorrat könnte also 200l betragen.

Daten für den Analogrechner:

• Zeitkonstante der Integrierer: 1 s
• max. Beschleunigung: 1g (1 ME)
• Mondgravitation: 0.16g (0.16ME)
• Treibstoff: 200 l (1 ME)
• Verbrauch: 20l/s bei 1g, also Faktor 0.1 am Integrator
• Höhe: 200m (1 ME)
• max. Geschwindigkeit: 50 m/s (1 ME) (= 180 km/h)
• Anfangsgeschwindigkeit 25 m/s (0.5 ME) (= 90 km/h)
• Faktor 0.25 für Geschwindigkeit zu Höhe (50m/s zu 200m)
• Faktor 0.2 für Beschleunigung zu Geschwindigkeit (10m/s² zu 50m/s)
• max. Landegeschwindigkeit: 2.5 m/s (0,05ME) (= 9km/h)

3. Symbolische Formeldarstellung

Ausführliche Schreibweise:

	gravity = 0.032
	fuel full = 1.0
	initial speed = 0.5
	initial height = 1.0
	max final speed = 0.02
	gas = input 1			"user input"
	acceleration = add gravity add -0.2 thrust
	speed = integrate acceleration from initial speed
	height = integrate speed from initial height
	fuel = integrate -0.1 thrust from fuel full
	thrust = if fuel greater 0.0 then gas else 0.0
	above ground = is height greater 0.0
	last speed = track speed while above ground
	landing ok = is last speed < max final speed

symbolische Schreibweise:

	gravity = 0.032
	initial fuel = 1.0
	initial speed = 0.5
	initial height = 1.0
	max final speed = 0.02
	gas = input 1			"user input"
	acceleration = gravity - 0.2 thrust
	speed = initial speed + {gravity - 0.2 thrust}
	height = initial height + {speed}
	fuel = initial fuel - {0.1 thrust}
	thrust = ? fuel > 0.0 : gas ; 0.0
	above ground = ? height > 0.0
	last speed = track speed while above ground
	landing ok = ? last_speed < max final speed

2. Progressives Beschleunigungsprofil

Hier wird die Beschleunigung linear von 0 auf einen Maximalwert gesteigert; wie groß ist der massenspezifische Impuls bzw. wieviel Liter Treibstoff werden benötigt?

3. Degressives Beschleungigungsprofil

Hier wird die Beschleunigung linear auf den Wert der Mondbeschleunigung reduziert; wie hoch ist die Anfangsbeschleunigung und wie hoch ist der Treibstoffverbrauch?

Sei also die Beschleunigung

a(t) = d₀ - d * t

a(t₁₎ = g_m = d₀ - d t₁

v(t) = v₀ + int_0^t1 a(t) dt = v₀ + d₀ t₁ - 1/2 d t_1²

Mit d = - d₀ / t₁:

v(t) = 0 = v₀ + d₀ t - 1/2 * d₀ * t

Schaltung für einen Analogrechner

Die folgende Schaltung gilt für einen Analogrechner mit Stromeingängen, die durch Verschalten addiert werden, und Schaltern an den Ausgängen der Koeffizientenpotentiometer:

Die beiden Integratoren A1 und A2 bestimmen die Geschwindigkeit und den Weg. Integrator A3 simuliert den Treibstoffvorrat; wenn er verbraucht ist, wird über Schalter Y1 der Treibstoffregler deaktiviert. Sobald die Höhe y nicht mehr positiv ist, werden die anderen Integratoren angehalten und somit die Anzeigen einfroren, damit die Landegeschwindigkeit bewertet werden kann. Der akzeptable Bereich ist auf der Anzeige grün unterlegt. Eine getrennte Anzeige rot/grün mit Lampen (LED) ist nicht vorgesehen.

Der Puffer A4 vermeidet, dass Koeffizientenpotentiometer hintereinandergeschaltet werden.

Die Symbole sind u.a. folgt gegenüber DIN 40700 abgewandelt:

• Digitale Steuereingänge sind gekennzeichnet wie ein aktiv-low Ein- oder Ausgang nach DIN 40900
• Der Analog-Digital-Schalter ist rechts graphisch modifiziert.
• Das Koeffizientenpotentiometer hat am Eingang eine Pfeilspitze.