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 <nimla>
 Bestimmung von Geschossflugbahnen mit dem Analogrechner
 Author: Rainer Glaschick, Paderborn <br> rainer@glaschick.de
-Date: 2015-09-24 korr. 2106-02-25
+Date: 2015-09-24 korr. 2021-10-06
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 Es gab damals noch keine elektronischen Analogrechner, und der mechanische
 "differential analyzer" war wohl zu ungenau.
+Die nachfolgend beschriebene Lösung ist übrigens auf einem einfachen Analogrechner auch nicht befriedigend.
 Da der Luftwiderstand eines Geschosses keiner einfachen Funktion folgt,
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 "Athen" gibt nicht an, ob diese berechnete Bahn
 experimentiell bestätigt wurde.
-Bestimmung einer Vektorlänge
-++++++++++++++++++++++++++
-Zur Berechnung der Vektorlänge
-	`v = sqrt(x^2+y^2)
-sind verschiedene Schaltungen möglich, die unterschiedliche und
-unterschiedlich viele Elemente benötigen.
-Sie unterscheiden sich auch in der Stabilität und Genauigkeit,
-wenn die Eingangswerte klein bzw. null sind.
-Ferner ist zu untersuchen, ob die Kombination der Eingangswerte
-zu einem Ausgangswert größer als 1 führen kann;
-dann sind die Eingangswerte entsprechend zu skalieren,
-nötigenfalls beide mit dem Faktor `1/sqrt(2)`.
-Häufig sind aber die Eingangswerte in diesen Fällen
-ohnehin Komponenten eines Vektors, dessen Länge
-auf 1.0 beschränkt ist,
-so dass dieses Problem im folgenden nicht berücksichtigt wird.
-Direkte Methode
----------------
-Die Eingangswerte werden quadriert,
-addiert und die Wurzel gezogen.
-Die Wurzel wird bevorzugt mit einem Funktionsgenerator ermittelt,
-da dieser keine Instabilitäten, insbesondere im Nullpunkt, aufweist.
-Aus diesem Grunde sind auch (spezielle) Funktionsgeneratoren
-für die Quadrate vorzuziehen, wie sie in manchen Multipliziereren
-verwendet werden, aber leider selten extern verfügbar sind.
-So wird man in der Regel Multiplizier verwenden müssen,
-und die Quadratwurzel mit einem dritten Multiplizierer
-im Rückkopplungszweig eines offenen Verstärkers berechnen.
-Dies kann jedoch leicht zu Instabilitäten führen.
-Alternative Quadratsumme
---------------------
-Wegen
-	`x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2 x y
-kann man die Quadratsumme auch mit einem zusätzlichen Addierer,
-einem Quadrierer und einem Multiplizierer bilden
-und hat dabei größere Zwischenwerte,
-da man, mit `x=y=0.1`, die Subtraktion `0.04 - 0.02`
-anstelle der Addition `0.01+0.01` verwendet.
-Dieser Vorteil ist aber für einen weiteren Addierer
-nicht ausreichend groß.
-Division mit AD433
----------
-In der Firmenzeitschrift "Analog Dialogue" der
-Firma Analog Devices wird ein Schaltung angegeben, mit der die Länge
-eines Vektors, d.h. die Funktion `v = sqrt(x^2+y^2)` mittels folgender
-Formel berechnet werden kann:
-	`v=x + y^2 / (v+x)
-Zum Beweis subtrahiert man x von der Gleichung und multipliziert anschließend  `v+x`, so ergibt sich:
-	`(v-x) * (v+x) = v^2 - x^2 = y^2
-Verwendet werden soll der AD433, ein Multiplizierer mittels Logarithmusbildung,
-der gleichzeitig durch einen dritten Wert dividieren kann:
-[img:analogrechner/Vektorlaenge_MulDiv.jpg]
-Die Schaltung ist nicht empfindlich für kleine Werte von `y`
-und auch wenig empfindlich für kleine Werte von `x`, solange
-das Ergebnis nicht nahe Null ist.
-Wenn allerdings beide Eingangswerte beide null sind,
-müsste durch Null dividiert werden.
-Letzter Fall könnte bei Verwendung des AD433 weniger gravierend
-sein als bei einem Aufbau mit einzelnen Multiplizieren und
-Dividierern.
-Sei als Beispiel `x=y=0.1`, also `v=0.14` dann sind `y^2=0.01` und
-`v+x=0.24`, wobei der Eingangswert der Division von 0.01 nicht optimal ist.
-Ist `x=0.4` und `y=0.9`, mithin `v=0.978`, so ist `v+x=1.38`
-und damit ausserhalb des Rechenbereichs, obwohl das Ergebnis
-innerhalb ist. Dies ließe sich durch Faktoren <1 vor dem ersten Summierer
-'A1' vermeiden.
-Der den AD433 ersetzende AD538 ist relativ teuer
-im Vergleich zu zwei Multiplizierern AD633,
-so dass eine Ausführung mit getrennten Elementen
-sinnvoll sein kann.
-Division mit getrennten Elementen
-------------
-Wird anstelle der integrierten Schaltung eine Schaltung aus vorhandenen Elementen verwendet, so ergibt sich die Schaltung zu:
-[svg:analogrechner/VektorlaengeQ.svg:,]
-Wegen `v ge |x|` ist auch für `x<0` die Summe `v+x ge 0`, so dass hier
-der Divisor nicht negativ ist.
-Die in der vorigen und dem folgenden Schema gezeigten Addierer sind
-**nicht** invertierend, weil bei der praktischen Umsetzung ohnehin
-Änderungen notwendig sind, da einige Dividierer beispielsweise invertierte
-Ergebnisse liefern, u.s.w.
-Division vertauscht
--------------------
-Eine bessere Aussteuerung wird erreicht, wenn  anstelle des Quadrierers
-ein Multplizierer verwendet wird und die Faktoren vertauscht werden:
-[svg:analogrechner/Vektorlaenge.svg:,]
-Als Beispiel sei `x=y=0.1`, dann ist `v=0.14, v+x=0.24`.
-Im ersten Fall muss 0.01 durch 0.24 dividiert, im zweiten Fall
-.1 durch 0.24 dividiert und anschließend mit 0.1 multipliziert werden,
-was deutlich weniger ungenau ist.
-Die Aussteuerbarkeit ist unverändert, da nach wie vor der Term 'v+x'
-gebildet wird.
-Inverse Methode
----------------
-Man kann auch die zweite Binomische Formel verwenden
-und durch einen einzigen offenen Verstärker `v` bestimmen:
-	`y^2 = v^2 - x^2 = (v+x)*(v-x)
-Hierbei wird ein Quadrierer und ein Multiplizierer benötigt:
-[svg:analogrechner/Vektorlaenge2M.svg:,]
-Als Beispiel sei `x=y=0.1`, dann ist `v=0.14, v+x=0.24, v-x = 0.04`.
 Literatur

analogrechner/flugbahnen.1489758728.txt.gz · Zuletzt geändert: 2017-03-17 14:52 von rainer

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