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+++ analogrechner:flugbahnen [2021-10-11 20:39] (aktuell) – PDF rainer
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 <nimla>
 Bestimmung von Geschossflugbahnen mit dem Analogrechner
 Author: Rainer Glaschick, Paderborn <br> rainer@glaschick.de
-Date: 2015-09-24 korr. 2106-02-25
+Date: 2015-09-24 korr. 2021-10-06
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 Es gab damals noch keine elektronischen Analogrechner, und der mechanische
 "differential analyzer" war wohl zu ungenau.
+Die nachfolgend beschriebene Lösung ist übrigens auf einem einfachen Analogrechner auch nicht befriedigend.
 Da der Luftwiderstand eines Geschosses keiner einfachen Funktion folgt,
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 "Athen" gibt nicht an, ob diese berechnete Bahn
 experimentiell bestätigt wurde.
-Bestimmung einer Vektorlänge
-++++++++++++++++++++++++++
-Zur Berechnung der Vektorlänge
-	 $v = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$
-sind verschiedene Schaltungen möglich, die unterschiedliche und
-unterschiedlich viele Elemente benötigen.
-Sie unterscheiden sich auch in der Stabilität und Genauigkeit,
-wenn die Eingangswerte klein bzw. null sind.
-Ferner ist zu untersuchen, ob die Kombination der Eingangswerte
-zu einem Ausgangswert größer als 1 führen kann;
-dann sind die Eingangswerte entsprechend zu skalieren,
-nötigenfalls beide mit dem Faktor  $\frac{1}{}$ sqrt(2) $.$
-Häufig sind aber die Eingangswerte in diesen Fällen
-ohnehin Komponenten eines Vektors, dessen Länge
-auf 1.0 beschränkt ist,
-so dass dieses Problem im folgenden nicht berücksichtigt wird.
-Direkte Methode
----------------
-Die Eingangswerte werden quadriert,
-addiert und die Wurzel gezogen.
-Die Wurzel wird bevorzugt mit einem Funktionsgenerator ermittelt,
-da dieser keine Instabilitäten, insbesondere im Nullpunkt, aufweist.
-Aus diesem Grunde sind auch (spezielle) Funktionsgeneratoren
-für die Quadrate vorzuziehen, wie sie in manchen Multipliziereren
-verwendet werden, aber leider selten extern verfügbar sind.
-So wird man in der Regel Multiplizier verwenden müssen,
-und die Quadratwurzel mit einem dritten Multiplizierer
-im Rückkopplungszweig eines offenen Verstärkers berechnen.
-Dies kann jedoch leicht zu Instabilitäten führen.
-Alternative Quadratsumme
---------------------
-Wegen
-	 $x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y$
-kann man die Quadratsumme auch mit einem zusätzlichen Addierer,
-einem Quadrierer und einem Multiplizierer bilden
-und hat dabei größere Zwischenwerte,
-da man, mit  $x = y = 0.1$ , die Subtraktion  $0.04 - 0.02$
-anstelle der Addition  $0.01 + 0.01$  verwendet.
-Dieser Vorteil ist aber für einen weiteren Addierer
-nicht ausreichend groß.
-Division mit AD433
----------
-In der Firmenzeitschrift "Analog Dialogue" der
-Firma Analog Devices wird ein Schaltung angegeben, mit der die Länge
-eines Vektors, d.h. die Funktion  $v = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$  mittels folgender
-Formel berechnet werden kann:
-	 $v = x + \frac{y^{2}}{v + x}$
-Zum Beweis subtrahiert man x von der Gleichung und multipliziert anschließend   $v + x$ , so ergibt sich:
-	 $(v - x) \cdot (v + x) = v^{2} - x^{2} = y^{2}$
-Verwendet werden soll der AD433, ein Multiplizierer mittels Logarithmusbildung,
-der gleichzeitig durch einen dritten Wert dividieren kann:
-[img:analogrechner/Vektorlaenge_MulDiv.jpg]
-Die Schaltung ist nicht empfindlich für kleine Werte von  $y$
-und auch wenig empfindlich für kleine Werte von  $x$ , solange
-das Ergebnis nicht nahe Null ist.
-Wenn allerdings beide Eingangswerte beide null sind,
-müsste durch Null dividiert werden.
-Letzter Fall könnte bei Verwendung des AD433 weniger gravierend
-sein als bei einem Aufbau mit einzelnen Multiplizieren und
-Dividierern.
-Sei als Beispiel  $x = y = 0.1$ , also  $v = 0.14$  dann sind  $y^{2} = 0.01$  und
- $v + x = 0.24$ , wobei der Eingangswert der Division von 0.01 nicht optimal ist.
-Ist  $x = 0.4$  und  $y = 0.9$ , mithin  $v = 0.978$ , so ist  $v + x = 1.38$
-und damit ausserhalb des Rechenbereichs, obwohl das Ergebnis
-innerhalb ist. Dies ließe sich durch Faktoren <1 vor dem ersten Summierer
-'A1' vermeiden.
-Der den AD433 ersetzende AD538 ist relativ teuer
-im Vergleich zu zwei Multiplizierern AD633,
-so dass eine Ausführung mit getrennten Elementen
-sinnvoll sein kann.
-Division mit getrennten Elementen
-------------
-Wird anstelle der integrierten Schaltung eine Schaltung aus vorhandenen Elementen verwendet, so ergibt sich die Schaltung zu:
-[svg:analogrechner/VektorlaengeQ.svg:,]
-Wegen  $v \geq | x |$  ist auch für  $x < 0$  die Summe  $v + x \geq 0$ , so dass hier
-der Divisor nicht negativ ist.
-Die in der vorigen und dem folgenden Schema gezeigten Addierer sind
-**nicht** invertierend, weil bei der praktischen Umsetzung ohnehin
-Änderungen notwendig sind, da einige Dividierer beispielsweise invertierte
-Ergebnisse liefern, u.s.w.
-Division vertauscht
--------------------
-Eine bessere Aussteuerung wird erreicht, wenn  anstelle des Quadrierers
-ein Multplizierer verwendet wird und die Faktoren vertauscht werden:
-[svg:analogrechner/Vektorlaenge.svg:,]
-Als Beispiel sei  $x = y = 0.1$ , dann ist  $v = 0.14, v + x = 0.24$ .
-Im ersten Fall muss 0.01 durch 0.24 dividiert, im zweiten Fall
-.1 durch 0.24 dividiert und anschließend mit 0.1 multipliziert werden,
-was deutlich weniger ungenau ist.
-Die Aussteuerbarkeit ist unverändert, da nach wie vor der Term 'v+x'
-gebildet wird.
-Inverse Methode
----------------
-Man kann auch die zweite Binomische Formel verwenden
-und durch einen einzigen offenen Verstärker  $v$  bestimmen:
-	 $y^{2} = v^{2} - x^{2} = (v + x) \cdot (v - x)$
-Hierbei wird ein Quadrierer und ein Multiplizierer benötigt:
-[svg:analogrechner/Vektorlaenge2M.svg:,]
-Als Beispiel sei  $x = y = 0.1$ , dann ist  $v = 0.14, v + x = 0.24, v - x = 0.04$ .
 Literatur