Retro Computer Laboratory

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<nimla>
Bestimmung von Geschossflugbahnen mit dem Analogrechner

Author: Rainer Glaschick, Paderborn <br> rainer@glaschick.de
Date: 2015-09-24 korr. 2021-10-06


Hintergrund
===========

Im 2. Weltkrieg waren die Berechnung von Geschossflugbahnen eine militärisch
wichtige Aufgabe; der erste elektronische Rechner (ENIAC)
war zu diesem Zweck gebaut.
Es gab damals noch keine elektronischen Analogrechner, und der mechanische
"differential analyzer" war wohl zu ungenau.

Die nachfolgend beschriebene Lösung ist übrigens auf einem einfachen Analogrechner auch nicht befriedigend.

Da der Luftwiderstand eines Geschosses keiner einfachen Funktion folgt,
ist, wie so häufig, eine geschlossene Integration nicht möglich,
so dass es naheliegend ist, dies Beispiel auf einem der üblichen Analogrechner
zu programmieren,
insbesondere um den Einsatz des Funktionsgenerators
für den Luftwiderstand zu zeigen.

Die Ergebnisse sind nicht spektakulär und eher für ein Fachpublikum
interessant.



Ausgangssituation
==================

"Reed" und "GornJuncosa" beziehen ihre Ausführungen auf den ENIAC
und geben folgendes Formelsystem an:
	`ddot x = - E_x (dot x - w_x) + lambda_1 dot y
	`ddot y = - E_y (dot y) - g - lambda_1 dot x
	`ddot z = - E_z (dot z - w_z) + lambda_3 dot y + lambda_2 dot x

Hierin sind:
- `x` die Entfernung in Schussrichtung,
- `y` die Höhe über dem Erdboden,
- `z` die Rechts-Links-Abweichung von der Schussrichtung,
- `w_x` und `w_z` Windgeschwindigkeiten,
- `g` die Erdanziehung,
- `lambda_1, lambda_2, lambda_3`
vom geographischen Ort abhängige Werte (Erdrotation) und
- `E` die Verzögerung durch den Luftwiderstand
als Funktion der Geschwindigkeit.

Gegenüber dem Original ist hier `E` noch mit  `x`, `y` und `z`
indiziert, denn es muss selbstverständlich die Komponente
in der jeweiligen Koordinatenrichtung verwendet werden,
also (mit dem Winkel `phi` der Flugrichtung zur Horizontalen):
	`E_x(v) = E(v) * cos phi
	`E_y(v) = E(v) * sin phi

Da die Verzögerung immer  der Geschwindigkeit entgegen
gerichtet ist, ist der Vorzeichenwechsel des Sinus
am Scheitel richtig, sofern E(v) immer positiv ist.

Nicht berücksichtigt ist in der Formel die von der Temperatur
und der Höhe abhängige Dichte der Luft,
sowie ein durch gezogenen Läufe erreichter Drall,
der zwar ein Zylindergeschoss stablilisiert,
aber auch ein Drehmoment benötigt, um das Geschoss von der
Abschussrichtung in die Landerichtung zu drehen.

Der Luftwiderstand `E` hat die Dimension einer Beschleunigung,
d.h. ein Quotient aus Kraft und Masse;
die Funktion ist damit spezifisch für ein Geschoss
und berücksichtigt so seine Form und Masse.

Empirisch wurde herausgefunden, dass der Luftwiderstand
unterhalb Schallgeschwidigkeit `v_s`
gut durch eine quadratische Abhängigkeit dargestellt werden kann:
	`E(v) = K * v^2 " mit " v < v_s
wobei die -- geschossspezifische -- Konstante `K` die Dimension `m^-1` hat.
Da die Mündungsgeschwindigkeiten üblicherweise
über der Schallgeschwindigkeit liegen, wird `K` als Funktion von `v`
dargestellt (die für kleine Geschwindigkeiten nahezu konstant ist):
	`K(v)=(E(v))/v^2`

Hierzu zeigt "Athen" auf S.19 folgenden Graphen für `K(v)`,
wobei für die Y-Werte -- wie sich aus dem Vergleich mit den Tabellen ergibt --
auf den Bereich 0..10 skaliert wurden, also relativ zueinander sind:

[img:analogrechner/athen-bild5.png:45% W/v²]

Lediglich die Kurve für "Siacci" zeigt die horizontale Gerade
für eine quadratische Abhängigkeit.
Offenbar setzt der Anstieg des Widerstandes gegenüber
der quadratischen Abhängigkeit bereits deutlich vor der Schallgeschwindigkeit ein.

Im Anhang von "Athen" findet sich auch eine Tabelle, deren Werte `K(v)`
von "Siacci" folgenden Graph ergeben,
in dem auch
die Verzögerung `E(v)=K(v)*v^2` des Geschosses dargestellt ist:

[svg:analogrechner/Athen-Anhang1.svg:400,400]

Ersichtlich geht der Luftwiderstand eines Geschosses
bei Schallgeschwindigkeit von einer Parabel in eine Grade
mit ins Negative verschobenem Ursprung über.

"Athen" zitiert folgende von "Siacci" entwickelte Formel:

[img:analogrechner/athen-Formel6.png:40%]

Deren Graph ist gleichfalls in der obige Graphik gezeigt
und liegt so genau auf den Tabellenwerten, dass die Tabelle vermutlich
daraus berechnet wurde. Eine Analyse der Formel (Details im Anhang)
zeigt, dass diese in der Tat eine in eine Gerade übergehende Parabel ist;
es könnte also sein, dass die mit "Siacci" bezeichnete Kurve in
obiger Darstellung eine theoretische ist, während -- wie auch
an anderer Stelle erwähnt -- die von Krupp empirisch ist
und nicht in Form eines analytischen Ausdrucks vorliegt.

Bei "Lorenz" auf S.92 wird eine Tabelle für das "S-Geschoss" (Infanteriegewehr)
angegeben (zwei Spalten von mir hinzugefügt):
{Dezimalkommas und Dezimalpunkt werden beide gleichermaßen verwendet,
folglich wird weder Punkt noch Komma zur Gruppierung von
Dezimalziffern verwendet}

\verbatim LorenzTabelleS92.txt

Hierbei sind:
- 'W' der Luftwiderstand (eine Kraft),
- 'W/F' der pro Geschossquerschnitt spezifische Widerstand,
- 'W/F/v²' ist 'K(v)/F',
- 'W/m' die Geschossverzögerung (also E(v))

Hier werden die Werte der 2. und 3. Spalte
auf den (unbekannten) Querschnitt 'F' des Geschosses bezogen.

Interessant ist die vierte Spalte, die dimensionierte Werte
für die Verzögerung enthält und gleichfalls einen in etwa linearen
Anstieg oberhalb der Schallgeschwindigkeit zeigt:

[svg:analogrechner/LorenzTabelleS92-1.svg:350,350]


Offenbar handelt es sich bei dem "S-Geschoss" um ein kleines Geschoss
mit einer geringen Masse pro Querschnitt,
so dass die Verzögerungen recht groß sind;
bei einer Mündungsgeschwindigkeit von 500m/s² wird das Geschoss
überschlägig während der ersten Sekunde auf 250m/s² abgebremst,
und hat dabei weniger als 500m zurückgelegt,
während Artilleriegeschosse Flugzeiten um die 20s bei
und Reichweiten von 6km und einer Endgeschwindigkeit von 250m/s²
erreichen ("Athen", S.239).

Da die Kurve der Verzögerung zwar bei kleinen Geschwindigkeiten
in eine Parabel übergeht, dieser Bereich aber gar nicht ausgenutzt
wird, weil nur eine signifikante Aufprallgeschwindigkeit
zerstörend wirkt,
könnte eine erste Annäherung mit einer der Geschwindigkeit proportionalen
Verzögerung versucht werden;
jedoch würde hier eine positive Beschleunigung unterhalb der Schallgeschwindigkeit
resultieren, die tunlichst vermieden werden sollte.

Man kann daher, wie in der Formel von "Siacci", ausnutzen, dass sich der Ausdruck
`sqrt(k+x^2)`  für große x (`x>sqrt(k)`) einer Geraden nähert,
und hat dann eine einfache Formel, die jedoch für Endgeschwindigkeiten
unterhalb der Schallgeschwindigkeit zu große Verzögerungen bewirkt;
ihr Graph ist oben bereits eingezeichnet.

Auf S.239 gibt "Athen" am Beispiel einer Schusstafel an,
dass ein Artilleriegeschoss bei einem Abschusswinkel von 12°
nach einer Flugzeit von 17s mit einer Endgeschwindigkeit von 257 m/s
ein Ziel in 5,4 km Entfernung erreicht.
Folgende Überlegungen dazu:

Angenommen, die Mündungsgeschwindigkeit sei 700m/s.
Die y-Komponente (in der Senkrechten) der Abfluggeschwindigkeit
ergibt sich durch Multiplikation mit 'sin 12°' zu 145m/s².
Sie wird durch die Gravitation und den Luftwiderstand
im Scheitelpunkt auf Null reduziert, wobei die Bremsung
auch in y-Richtung sich nach der Gesamtgeschwindigkeit
und nicht nach deren y-Komponente bestimmt.
Wenn der Scheitelpunkt (angenommen) nach 7s erreicht ist,
dann ist der Beitrag der Graviation eine Geschwindigkeitsreduktion von
70m/s, verbleiben 75m/s für den Luftwiderstand, dessen
y-Komponente allein schon deshalb abnimmt, weil im Scheitelpunkt
das Geschoss allein in x-Richtung fliegt.
Für eine grobe Abschätzung sei daher die y-Komponente des Luftwiderstands
zu Anfang doppelt so groß wie die Erdanziehung, also 20m/s²,
was für den Gesamtwiderstand in Flugrichtung 96m/s² ergibt.
Verbleiben 10s bis zu Aufprall, der mit 98m/s erfolgen würde, wenn weiter kein Luftwiderstand vorhanden wäre, der die Wirkung der Gravitation schwächt.
Eine Endgeschwindigkeit von 257m/s bedeutet daher einen Auftreffwinkel
von 22°.

Für die x-Richtung ist die Komponente der Abfluggeschwindigkeit 684m/s
und die Auftreffgeschwindigkeit 240m/s (bei den angenommen 22°).
Die Geschwindigkeit nimmt zunächst exponentiell ab, solange der Widerstand
proportional der Geschwindigkeit ist;
im Scheitelpunkt ist der Widerstand nur in x-Richtung wirksam.
Wäre der Widerstand konstant, dann ist bei 17s für eine Geschwindigkeitsverminderung von 444m/s eine mittlere Verzögerung
von 26m/s² gegeben, also anfänglich deutlich größer,
wenn auch eher weniger als die aus der y-Richtung geschätzten 98m/s².
Vorbehaltlich der Simulation ist offenbar bei Artilleriegeschossen
auf Grund der relativ zum Querschnitt größeren Masse
von Verzögerungen im Bereich bis 100m/s², also der 10-fachen
Erdbeschleunigung auszugehen.

Aufstellung der Differentialgleichungen
===================

Für die exemplarische Darstellung auf dem Analogrechner sollen Windeffekte,
die Abhängigkeit vom geographischen Ort usw. nicht berücksichtigt werden
und auch nur die x- und y-Richtung (Schussrichtung und Höhe) betrachtet werden;
solange die Erdrotation nicht berücksichtigt wird, bleibt, da die Anfangswerte
Null sind, der Endwert von `z` (Rechts-Links-Abweichung) auch Null.



Ohne Luftwiderstand ist die Rechenschaltung trivial: Die x-Richtung
ist proportional der Zeit, benötigt also allenfalls einen Integrator,
und die y-Richtung ist das Integral über das Integral der Konstanten,
der Gravitation, ist also eine Parabel,
deren Darstellung mit zwei Integratoren erfolgen kann.
Dies ist die nachfolgende Rechenschaltung, wobei die Verbindungen
von den Multiplizierern zu den Integratoren nicht verbunden werden
und die Skalierung geändert werden muss.

Die Ableitungen werden als eigene Variablen dargestellt und die Abhängigkeit
von der Zeit nicht geschieben:
	`a_x = ddot x = d/dt v_x
	`a_y = ddot y = d/dt v_y
	`v_x = dot x = d/dt x
	`v_y = dot y = d/dt y

Damit lauten die zu lösenden Gleichungen:
	`a_x = -E(v) * cos alpha
	`a_y = -E(v) * sin alpha  - g
	`v * cos alpha = v_x
	`v * sin alpha = v_y

Dabei werden als weitere Variable die Geschwindigkeit `v` in Flugrichtung,
nach der sich der Luftwiderstand bestimmt,
sowie der Winkel `alpha` verwendet, der den Winkel der Fluggeschwindigkeit
zur Horizontalen angibt.
Da `sin alpha` im absteigenden Ast negativ wird, hat die Komponente des
Luftwiderstands weiterhin dasselbe Vorzeichen wie die Geschwindigkeit
und bremst das Geschoss.

Erfreulicherweise kann damit (für `v != 0`) der Winkel `alpha` einfach eliminiert werden:
	`a_x = -E(v) * v_x / v
	`a_y = -E(v) * v_y / v - g
	`v^2 = v_x^2 + v_y^2

Setzt man `R(v^2) = (E(v)) / v` (mit der Dimension '1/s'),
d.h. arbeitet man die Wurzel
und die Division durch `v`
in die Luftwiderstandsfunkion ein, so ergibt sich:

	`a_x = -R(v^2)   v_x
	`a_y = -R(v^2)   v_y - g
	`v^2 = v_x^2 + v_y^2


In Integralschreibweise ergibt das mit der Integration der Geschwindigkeiten
zu den Wegen:
	`v_x = int a_x dt = - int R(v^2) * v_x * dt
	`v_y = int a_y dt = - int (R(v^2) * v_y + g) * dt
	`v^2 = v_x^2 + v_y^2
	`x = int v_x dt
	`y = int v_y dt

Damit werden -- ausser Integrationen und Additionen -- zwei Quadrierungen
und zwei Multiplikationen benötigt, und nur eine einzige Funktionstabelle für `R(v^2)`.

Variante 1
++++++++++


Auf dem EAI Mini-AC mit drei Multiplizieren und zwei Funktionsgebern
können somit die beiden Quadrierungen durch jeweils einen Multiplizierer
und eine Funktionstabelle bewirkt werden.

Das ergibt folgende Rechenschaltung:

[svg:analogrechner/Flugbahnen.svg:,]

Da die Anfangwerte ja Geschwindigkeitskomponenten sind, ist die Summe
ihrer Quadrate immer &le;1, so dass für den Addierer kein Überlauf
zu befürchten ist, weil zudem die maximalen Geschwindigkeiten
am Anfang auftreten.
{Durch eine Rückführung vom Ausgang auf den Eingang die Eingänge mit
dem Faktor 0.5 zu bewerten, ist daher nicht sinnvoll, weil
es die Eingangswerte zu dem variablen Funktionsgenerator unnötig klein macht.}
Ungünstig ist, dass die Quadrate der Geschwindigkeiten gebildet
werden, die bei kleinen Geschwindigkeiten sehr klein werden und
damit kleine Eingangswerte für die Widerstandsfunktion bedeuten;
dies wird am Schluss noch genauer dargestellt.
Da die kleinen Geschwindigkeiten erst am Schluss der Flugbahn
auftreten, wirken sich die Ungenauigkeiten nur dort aus
und werden nicht propagiert.


Für kleine Geschwindigkeiten mit quadratischer Widerstandsfunktion
wird `R(v^2) = K*v`, also `R(x) = K * sqrt(x)`,
so dass, wenn dies vorteilhaft wäre, anstellle eines Funktionsgenerators
eine Quadratwurzel verwendet werden könnte.


Variante 2
++++++++++

Zwar ist die vorherige Version übersichtlich, hat aber den Nachteil,
dass die Funktion `R(v^2)` im unteren Bereich ausgeprägt ist und
daher schwer stabil einstellbar ist.

Es ist aber möglich, die Länge `v=sqrt(x^2 + y^2)` eines Vektors
wegen `v=x + y^2/(v+x)` mit einem Quadrat und einer Division
zu ermitteln, und dann `R(v)=(E(v))/v` zu verwenden:


[svg:analogrechner/FlugbahnenDiv.svg:100%,]

Anmerkungen
++++++++++




Während die Anfangswerte für die Position einfach als (0,0) gesetzt werden können,
sind die Anfangswerte für `v_x` und `v_y` die Komponenten der
Anfangsgeschwindigkeit `v_0` mit dem Abschusswinkel `alpha`.
Da wenige Analogrechner feste Funktionsgeneratoren für beispielsweise den Cosinus
(oder eine andere Einrichtung zur Umwandlung von Polarkoodinaten in cartesische, z.B. gekoppelte sin/cos Potentiometer)
haben, müssen diese Anfangswerte extern berechnet und
dann eingestellt werden.



In der Literatur werden Lösungen für kleine Geschwindigkeiten
mit quadratischer Abhängigkeit des Widerstandes beschrieben:

"WassGarner" benötigt den Funktionsgenerator nur optional (und dann
für `K(v)`),
benutzt einen Arcus-Tangens-Resolver, um den Winkel
zu bestimmen, und Sinus und Cosinus-Funktionen für die Komponenten
in x- und y-Richtung.

"KornKorn" verwendet anstelle der Komponenten in x- und y-Richtung
den Winkel und die Geschwindigkeit in Flugrichtung und benötigt
daher den Sinus und den Cosinus für die Komponenten der Gravitation
in Flugrichtung und als Drehmoment.

Dimensionierung und Skalierung
==============

Da die elektronischen Analogrechner so beschriftet sind,
dass die Rechengrößen als Zahlen zwischen -1 und +1 auftreten,
wird der Begriff der Maschineneinheit (z.B. 1ME=10V) nicht benötigt;
zur Skalierung wird ein Faktor gleicher Dimension wie
die zu skalierende Größe verwendet,
mit dem die Rechengrößen multipliziert werden,
um die Realgrößen zu erhalten, z.B. '100km' für eine Länge.
Der Skalierungsfaktor ist meist das Maximum der Absolutwerte
der physikalischen Größe, durch ein Dach gekennzeichnet,
während die dimensionslose Rechenvariable im Bereich -1..+1
mit einem Unterstrich bezeichnet wird:
	`x = hat x * ul x


Beispielsweise wird in einer Gleichung
nach der Substitution der Variablen durch -- in diesem Fall -- `hat a_x`
dividiert:
	`a_x = k * d/dt v_x
	`hat a * ul a_x = k * hat v_x / hat t * d/(d ul t) ul v_x
	`ul a_x = k * hat v_x / (hat a_x hat t) * d/(d ul t) ul v_x = ul k * d/(d ul t) ul v_x " mit " ul k = k * hat v_x / (hat a_x hat t)

Ersichtlich hat `ul k` dieselbe Dimension wie `k`, in diesem
Fall sind beide dimensionslos.

Rechnung in Echzeit heisst dabei lediglich, dass `hat t = 1 s`
und ausser den richtigen Dimensionen keine Wirkung hat.


Einsetzen der noch symbolischen Skalierungsfaktoren in obige Formeln ergibt:
	`ul v_x = - 1/hat v int R ((hat v ul v)^2) * hat v * ul v_x * hat t * d ul t = - int hat t  R((hat v ul v)^2) * ul v_x * d ul t = - int ul R(ul v^2) * d ul t
	`ul v_y = - 1/hat v int (R ((hat v ul v)^2) * hat v * ul v_y + g) * hat t * d ul t  = - int (hat t R((hat v ul v)^2) +  hat t / hat v g) * d ul t = - int (ul R(ul v^2) + ul g) * d ul t
	`ul v^2 = ul v_x^2 + ul v_y^2
	`ul x =  (hat v * hat t) / hat x int  ul v_x d ul t = int  ul  c_x ul v_x d ul t
	`ul y =  (hat v * hat t) / hat y int  ul v_y d ul t =  int ul c_y ul v_y d ul t
wobei
	`ul R(ul v^2) = hat t * hat v / hat x R(hat v^2 ul v^2)
	`ul c_x = (hat v * hat t) / hat x
	`ul c_y = (hat v * hat t) / hat y
	`ul (g) = hat t / hat v g




Die maximale Geschwindigkeit beim Abfeuern ist Mach 3,
also ist der Maximalwert der Geschwindigkeit und damit
der Skalierungsfaktor für Geschwindigkeiten (zweckmäßig in beiden Richtungen gleich):
	`hat v = 1 km* s^-1`

Für die Flugzeiten könnten 20 sec ausreichen, die in 2 sec ablaufen sollen:
	`hat t = 10 s

Die maximale Reichweite könnte bei 20km liegen:
	`hat x = 20 km`

Wegen der Gravitation wird zwar die Höhe geringer sein,
aber für die Darstellung auf dem Plotter sind unterschiedliche
Skalierungen nicht sinnvoll, daher ist auch in y-Richtung:
	`hat y = 20 km`

Als maximale Beschleunigung wird die ca. zehnfache Erdbeschleunigung
genommen:
	`hat a = 100m * s^-2

Das ergibt:
	`ul c_x = (hat v * hat t) / hat x = 0.5
	`ul c_y = (hat v * hat t) / hat y = 0.5
	`ul (g) = hat t / hat v g = 0.0981

Die Anfangswerte für die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung
sind dabei für einen Abschusswinkel von 30° und einer Anfangsgeschwindigkeit
von 700m/s (Mach 2):
	`v_x(0) = 700m/s * cos 30° = 606m/s " skaliert " ul v_x(0) = 0.606
	`v_y(0) = 700m/s * sin 30° = 350m/s " skaliert " ul v_y(0) = 0.350

Soll die Simulation in 5s statt in 2s erfolgen, so wird
	`hat t = 2s
	`ul c_x = (hat v * hat t) / hat x = 0.1
	`ul c_y = (hat v * hat t) / hat y = 0.1
	`ul (g) = hat t / hat v  * g = 0.0196


Bleibt die Funktion `ul R(ul v^2)`.
In der folgenden Tabelle wurden von der "Siacci"-Funktion zehn Werte ausgewählt,
die Bereiche auf 0..1 skaliert und in der zweiten Spalte das Quadrat
der ersten und der vierten Spalte das Produkt der ersten mit der dritten
eingefügt:
\verbatim Athen-Anhang1-reduct.txt

Die entsprechenden Graphen seien hier wiederholt:

[svg:analogrechner/Athen-Anhang1-reduct.svg:400,400]

Die benötigte Funktion `R(v^2)` ergibt sich dann
als Graph der vierten in Abhängigkeit von der zweiten Spalte:

[svg:analogrechner/Athen-Anhang1-reduct2.svg:400,400]

Die Koeffizienten für die beiden zusätzlich dargestellten Annäherungen
wurden durch Ausprobieren gefunden.
Der Kreuzungspunkt der beiden Funktionen liegt bei `0.082=sqrt(0.286)` und damit
-- wie bereits oben erwähnt -- deutlich unterhalb der Schallgeschwindigkeit.

Für die Funktionen ergibt sich aus der Theorie nach "Siacci" für `E(v)` (mit der Schallgeschwindigkeit `v_s`):
	`E(v) = { [ K * v^2 , if v < v_s],  [L * v - M,  if v > v_s] }
	`(E(v))/ v = { [ K * v , if v < v_s],  [L  - M/v,  if v > v_s] }

und damit wegen  `R(v^2) = (E(v))/v` bzw. `R(x) = (E(sqrt(x)))/sqrt(x)`:
	`R(x) = { [ K * sqrt(x) , if x < sqrt(v_s)],  [L - M/sqrt(x),  if x > sqrt(v_s)] }

Dass die Funktion `R(v^2)` zwischen 0 und 0.1 sehr ausgeprägt ist,
hängt auch damit zusammen, dass Argument das Quadrat der Geschwindigkeit
ist; damit sind die Rechenwerte immer wesentlich kleiner als
die Geschwindigkeiten; dies ist -- wie oben erwähnt -- ungünstig.
Allerdings solle ja die Endgeschwindigkeiten noch recht hoch sein;
eine Endgeschwindigkeit von 0.25 entsprechend 250m/s² bedeutet
den Wert von 0.0625, also gut 6% vom Rechenbereich und sollte
somit noch brauchbare Ergebnisse liefern.

Um den Flug im luftleeren Raum zu simulieren, sind andere Skalierungen
notwendig. Nimmt man hier -- wegen der größeren Höhe -- einen Abschusswinkel
von 45° und eine Anfangsgeschwindigkeit von 710m/s, dann sind die Anfangsgeschwindigkeiten in x- und y-Richtung 500m/s.
Die Flugzeit ist das Doppelte der Zeit, die die Graviation benötigt,
um die Anfangsgeschwindigkeit in y-Richtung auf Geschwindigkeit Null
im Scheitelpunkt zu reduzieren, also etwa 2*50s=100s.
Da der Flug in x-Richtung ungebremst ist, sind das 50km,
so dass die Skalierungsfaktoren sind:
	`hat v = 1 km* s^-1`
	`hat t = 50 s
	`hat x = 50 km`
	`hat y = 50 km`
	`ul c_x = (hat v * hat t) / hat x = 1
	`ul c_y = (hat v * hat t) / hat y = 1
	`ul (g) = hat t / hat v g = 0.49

Soll die Simulation 5s dauern, so wird:
	`hat v = 1 km* s^-1`
	`hat t = 20 s
	`hat x = 50 km`
	`hat y = 50 km`
	`ul c_x = (hat v * hat t) / hat x = 0.4
	`ul c_y = (hat v * hat t) / hat y = 0.4
	`ul (g) = hat t / hat v g = 0.196

Auf einem EAI MiniAC mit der zweiten Variante
(Quadrierer und Dividier) entstanden die folgenden Ergebnisse:

[img:analogrechner/Luftwiderstand-30.png:400]

[img:analogrechner/Luftwiderstand-45.png:400]

Die Knicke bei der Berechnung der Geschwindigkeit sind nicht
plausibel; die Ursache wurde noch nicht gefunden,
könnte aber daran liegen, dass das Quadrat durch den
Funktionsgenerator gebildet wird und dieser nicht
sehr stabil ist.
Vertauschen von x und y (d.h. via y² und nicht via x²)
ergab schlechtere Ergebnisse.



Anhang
=======

Siaccis Formel
++++++++++++++

Die Formel gewinnt an Klarheit, wenn sie ein wenig umgeformt wird
und -- ohne den Verlust an Genauigkeit im Detail zu prüfen  --
die Konstanten rundet:
	`f(v) = 0.2 v - 48 + 0.41 sqrt(58 + (v-291)^2) + 0.12 * (v*(v-300))/(1+(v/361)^10)* 10^-3

Die Formel besteht aus drei Teilen:
- einer Geraden `a(x)=0.2v-48`,
- der Wurzel aus dem Quadrat: `b(x)=0.41*sqrt(58 + (v-291)²)`,
- und dem Bruch `c(x) = 0.12 * (v*(v-300))/(1+(v/361)^10)* 10^-3`

Ein Blick auf die Graphen ist aufschlussreich:

[svg:analogrechner/AthenFormel6-orig.svg:400,400]



Athens Musterbahn
+++++++++++++++++

Auf S.75 gibt "Athen" ein mit den zuvor entwickelten Formeln
die Zahlen für eine Flugbahn an, die er als "Musterbahn" bezeichnet.
Es handele sich um (Artillerie-) Geschoss Kaliber 10 cm
mit einem Abschusswinkel von 12° und einer Mündungsgeschwindigkeit
von 381,6 m/s,
dass nach  einer Flugzeit von 17s mit einer Endgeschwindigkeit von 257 m/s
ein Ziel in 5,4km Entfernung erreicht (alle Werte in m, s, m/s und Grad):

[img:analogrechner/AthenS75.png:70%]

Die Daten wurden in der folgendenden Tabelle umsortiert
und die Geschwindigkeit nach dem Scheitelpunkt negativ notiert:

\verbatim AthenS75.dat

Graphisch dargestellt (links Weg in m, rechts Geschwindigkeit in m/s):

[svg:analogrechner/AthenS75.svg:400,400]

Die Flugbahn ist nicht stark durch den Luftwiderstand beeinflusst;
auf dem absteigenden Ast ist die Beschleunigung durchschnittlich
8,67 m/s² (191,5 m/s auf 22,08s), also nur um 1,1 m/s² kleiner
als die Erdbeschleunigung.

Zudem ist die Flugzeit im absteigenden Ast größer als im
aufsteigenden, obwohl eher eine Verkürzung der Parabel
im absteigenden Ast erwartet wird.
"Athen" gibt nicht an, ob diese berechnete Bahn
experimentiell bestätigt wurde.

Literatur
++++++++++

In älteren Büchern wird häufig für eine Kraft auch die Einheit 'kg'
anstelle von 'kp' ('=9,81 kgm/s² = 9,81 N') verwendet;
ob eine Kraft oder Masse gemeint ist, kann nur aus dem Zusammenhang
erschlossen werden.

Das Buch von "Siacci" ist aufgeführt, obwohl es nicht direkt zitiert wird
(es konnte nicht einfach beschafft werden), weil es von "Lorenz" und "Athen"
zitiert wird.

\::Reed
	Harry L. Reed, Jr.: "Firing Table Computations on the Eniac".
	Proceedings of the 1952 ACM National Meeting (Pittsburgh), pp. 103-106 (1952)

\::GornJuncosa
	S. Gorn; M.L. Juncosa: "On the Computational Procedures
	for Firing and Bombind Tables".
	BRL Report No. 889, Aberdeen Proving Ground, Maryland USA (1954)

\::Athen
	Hermann Athen: "Ballistik".
	Von Quelle und Meyer Leipzig (1941)

\::Lorenz
	H. Lorenz: "Ballistik".
	R. Oldenbourg Berlin (1917)

\::Siacci
    F. Siacci: "Corso di Balistica."
	3 Bände, Rom 1870 bis 1884, 2. Auflage Turin 1888
	(französisch: "Balistique extérieure." Paris 1892)
	(deutsch:     "Ballistik und Praxis." Berlin 1882)

\::Jackson
	A. S. Jackson: "Analog Computation".
	McGraw-Hill (1960)

\::KornKorn
	Granino A. Korn, Therea M. Korn: "Electonic Analog Computers."
	McGraw-Hill (1956) (auch in deutscher Übersetzung)

\::WassGarner
	C.A.A. Wass, K.C. Garner: "Introduction to Electonic Analogue Computers".
	Pergamon Press (1965)

\ASCIIMATHML ASCIIMathML.js

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