Retro Computer Laboratory

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Konditionierung von Differentialgleichungen im Analogrechner

Autor: Rainer Glaschick, Paderborn
Datum: 2014-02-13

Einleitung
==========


Bei der Programmierung von Analogrechnern ist,
wie auch bei der Programmierung von Mikrokontrollern
und anderen Rechnern mit Festkomma-Arithmetik,
eine Konditionierung notwendig, damit die Rechenvariablen im Rechenbereich liegen
und dennoch der gegebene Zahlenraum möglichst ausschöpft wird,
um Fehler gering zu halten.
Bei Digitalrechnern sind das im wesentlichen Rundungsfehler,
bei Analogrechnern Rauschen und Linearitätsfehler.

Die Standardwerke zur Analogrechnetechnik widmen meist nur wenige Seiten der Konditionierung.
Dabei steht immer die Abbildung von physikalischen (oder chemischen)
Größen so auf die Rechenvariablen im Vordergrund,
dass die Rechenvariablen im Bereicht &plusmn;1 liegen.
In der Regel ist die Zeit die primäre unabhängige Variable,
so dass eine Zeittransformation unter dem Aspekt der Simulation,
d.h. ob Echtzeit, Zeitlupe oder Zeitraffer, betrachtet wird.
Zudem ist dort der Wertebereich der anderen Variablen
zumindest ungefähr bekannt und ohnehin nicht variiert werden;
es ist also lediglich der Transformationsfaktor einen jeden physikalischen
Größe in den Breich &plusmn;1 anzugeben.
Ob die damit entstehenden Gleichungssyteme bzw. Rechenprogramme
überhaupt numerisch brauchbar sind, kann normalerweise nur im Einzelfall
bewertet werden.

Falls jedoch die zu lösenden (Differential-) Gleichungssysteme
nur mathematisch-numerisch ohne ein physikalisches (oder ökonomisches)
Modell vorliegen, sind die Randbedingungen in der Regel weniger
genau bekannt.

Gleiches gilt, wenn in dem zu modellierenden System die Zeit keine
primäre Variable ist. Differentialgleichungen mit einer Variablen,
nach der differenziert wird, fallen meist nicht darunter, sofern
diese Variable als monoton angesehen werden kann.


Im folgenden wird daher mit "Konditionierung"
{es hat sich offenbar hierfür der Terminus "Vorkonditionierung"
als direkte Übersetzung des englischen Begriffs "preconditioning"
eingebürgert, ohne zu berücksichtigen, dass der Begriff "conditioning"
bereits im Sinne von "Training" besetzt war, was im Deutschen nicht
der Fall ist. Bei einer Übersetzung ins Englische ist "Konditionierung"
als stets mit "preconditioning" zu übersetzen.}
allgemein eine Transformation der Variablen bezeichnet,
die mathematisch die Lösung nicht verändert,
d.h. die Transformation der (Differential-) Gleichungen in solche,
die -- nach einer Rücktransformation -- die ursprünglichen Ergbenisse liefern.
Das Verb "skalieren" wird für eine lineare Transformation,
d.h. die Multiplikation mit einem Faktor, verwendet.




Beispiel Lorenz-Attraktor
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Der Lorenz-Atraktor (siehe [[Jung]] und [[Wikipedia]])
ist durch ein relativ einfaches System von Differentialgleichungen
mit drei Variablen allgemein definiert als:
	`dot x = s y - s x
	`dot y = r x - x z - y
	`dot z = x y - b z

Als Parameter entsprechend dem physikalischen Hintergrund
werden üblicherweise verwendet:
	`s=10
	`r=28
	`b=8/3=2.67

so dass die Gleichungen lauten:
	`dot x = 10 y - 10 x
	`dot y = 28 x - x z - y
	`dot z = x y - 2.67 z

Nach [[Jung]] muss bei den o.a. Werten für s und b gelten: `r > 470/19 = 25.74`,
weil sich ansonsten stationäre Lösungen einstellen.

Soll dieser Satz von Differentialgleichungen auf einem
Analogrechner berechnet werden, so ist sicher zu stellen,
dass die Rechenvariablen stets dem Betrag nach kleiner als 1 sind.
Dies gilt zwar nicht für die einzelnen Faktoren auf den rechten Seiten der Gleichungen;
es darf lediglich die aktuelle Summe 1 nicht überschreiten.
es ist dennoch ratsam, damit anzufangen, dass alle Variablen stets kleiner 1 sind.

Koeffizienten größer als 10 sind weniger erstrebenswert;
zwar sind meist ein oder zwei Eingänge mit dem Gewicht 10 vorhanden,
so dass ein Faktor bis 20 einstellbar ist.

Als ersten Ansatz könnte man dennoch die Summanden auf Werte kleiner 1
beschränken, das ergäbe:
	`|x| < 0.03
	`|y| < 0.1
	`|z| < 0.4

Für die erste Gleichung ist dies zu restriktiv;
hier reicht es, wenn -- wie es hier der Fall ist --
die Differenz `|x-y|` stets < 0.1 ist;
aus der zweiten und dritten Gleichung sind aber die Restriktionen
für `x` und `z` im wesentlichen unverändert.

Das wäre für `x` ziemlich schlecht konditioniert, da einige Multiplizierer
um den Nullpunkt große Fehler verursachen.

Bei der von  [[Horowitz]] beschriebenen direkten Realisierung
mit Widerständen und Operationsverstärkern unterliegen die Koeffizienten
kaum Beschränkungen, da die Eingangswiderstände sehr klein und damit die Faktoren
sehr groß gemacht werden könnnen.
Dennoch bleibt auch hier die Beschränkung, dass die Spannungen im Bereich
&plusmn;10V bleiben müssen.



Intuitive Skalierung
-------------------

Aus dem im Anhang gezeigten Graph der Lösungsfunktion
kann man entnehmen, dass die Werte für x im Intervall &plusmn;20 liegen,
die für y im Intervall &plusmn;25, und die für z immer positiv sind
und maximal 50 erreichen können.

Also liegt es nahe, die Variablen mit diesen Maximalwerten zu normieren,
damit die neuen Werte nunmehr betragsmäßig kleiner 1 sind:
	`x rarr 20 x
	`y rarr 25 y
	`z rarr 50 z

Dies ist eine abgekürzte Schreibweise dafür, dass die Variable `x` in den Formeln
durch `20 xi` ersetzt wird und dann wieder `xi` durch `x`;
das ergibt:
	`20 dot x = 10*25 y - 10*20 x
	`25 dot y = 28*20 x - 20*50 x z - 25 y
	`50 dot z = 20*25 x y - 2.67*50 z

also:
	`dot x = 12.5 y - 10x
	`dot y = 22.4 x - 40 x z - y
	`dot z = 10 x y - 2.67 z

Das eigentliche Ziel, die großen Koeffizienten zu vermeiden,
wird so also nicht erreicht.



Konditionierungen
============

Konditionierungen können durch Transformation im Zeitbereich
und der Variablen erfolgen.

Zeitkonditionierung
-----

Integratoren (nach der Zeit) benötigen immer die Angabe einer
Zeitkonstanten, die das Integral der (Summe der) Eingangsvariablen
mit der Ausgangsvariablen verknüpft;
meist sind dies glatte Werte wie 1/sec oder 10/sec oder 100/sec.
Dies ist deshalb möglich, weil ein für alle Eingänge gleicher Faktor
ein Stauchen oder Dehnen der Zeit bedeutet.
Wenn also eine Zeitkonstante von 1/sec auf 2/sec verkleinert werden soll,
dann sind alle Eingänge mit dem Faktor 2 zu bewerten.

Ein Integrator wird allgemein beschrieben durch eine Gleichung der Form
	`x = - tau int sum  v_i dt

oder
	`1/tau dot x = - sum v_i

Vereinfacht kann man schreiben
	`dot x = - sum v_i

und impliziert eine für alle Integratoren gleiche Zeitkonstante.
(In dem von Adler verwendeten Heaviside-Kalkül ist
dies besser sichtbar, aber, da ungewohnt, nicht unbedingt
übersichtlicher.)

Wird die Zeitkonstante um den Faktor `lambda` erhöht,
dann ergibt sich
	`1/(lambda tau) dot x = - sum v_i

oder in unserem Fall, wenn alle Ableitungen auf der linken Seite einzeln stehen,
	`1/tau dot x = -lambda sum v_i

Damit bewirkt eine Zeittransformation erstaunlicherweise,
dass alle Koeffizienten uniform mit einem Faktor multipliziert werden.
Auf den zweiten Blick ist das nicht so erstaunlich, da die Determinante
der Koeffizienten auf der rechten Seite von dieser Operation unbeeinflusst
ist und damit auch die relativen Werte der Variablen untereinander.

Eine Zeittransformation durch Division durch 10 (`lambda = 1/10`)
ergibt dann für das Beispiel:
	`dot x = y  - x
	`dot y = 2.80 x - 0.10 x z - 0.10 y
	`dot z = 0.10 x y - 0.267 z

Dies ist auf den ersten Blick ein wesentlicher Fortschritt,
da nunmehr die Koeffizienten günstige Werte aufweisen.
Da es sich aber lediglich um eine Zeittransformation handelt,
bleiben die Werte für die Rechenvariablen unverändert,
und es sind Bereichsüberschreitungen weiterhin zu erwarten.

Bei der Analyse der Wertebereiche sind Multiplikationen wenig problematisch,
wenn die Faktoren beide kleiner als Eins sind,
da das Produkt dann kleiner als die Faktoren ist.
Sind hingegen die Faktoren größer Eins, so ist das Produkt wesentlich
größer als die Faktoren.


Variablenkonditionierung
===================


Bei der Variablenkonditionierung werden alle Variablen durch ein Vielfaches
oder einen Bruchteil ersetzt, ggf. auch durch eine additive Konstante.

Uniforme Konditionierung
++++++++++++++++++++++++

Hier werden alle Variablen mit demselben Faktor skaliert:
	`x rarr alpha x
	`y rarr alpha y
	`z rarr alpha z

Die Ableitungen werden mit dem gleichen Faktor skaliert:
	`dot x rarr alpha dot x
	`dot y rarr alpha dot y
	`dot z rarr alpha dot z

Das ergibt
	`alpha dot x = s alpha y - s alpha x
	`alpha dot y = r alpha x - alpha^2 x z - alpha y
	`alpha dot z = alpha^2 x y - b alpha z

nach Division durch `alpha`:
	`dot x = s y - s x
	`dot y = r x - alpha x z - y
	`dot z = alpha x y  - b z

also:
	`dot x = 10 y - 10 x
	`dot y = 28 x - alpha x z - y
	`dot z = alpha x y  - 8/3 z

Hier ändert sich nicht für die konstanten Koeffizenten,
aber für alle Multiplikationen ist der Faktor anzuwenden.

Man kann also durch eine uniforme Variablenskalierung
gezielt die Faktoren vor den Multiplikationen beeinflussen.

Wendet man eine Zeittransformation mit `1/10` und
eine uniforme Variablenskalierung mit `alpha=50` an,
so werden auf diese Art die ungünstigen Faktoren vor den Multiplikationen
entfernt:
	`dot x = y  - x
	`dot y = 2.8 x - 5 x z - 0.1 y
	`dot z = 5 x y - 0.27 z

Mit diesen Faktoren ist dann `z<1` und die beiden anderen Variablen
sind im Maximum größer etwa 0.5.

Häufig wird auch mit 100 skaliert, dass ergibt dann den Faktor 10
vor den Multiplikationen und nur ein halbe Aussteuerung;
da der Faktor 10 aber bei üblichen Analogrechnern kein Koeffizientenpotentiometer
erfordert, ist diese Konditionierung durchaus beliebt.


Individuelle faktorielle Skalierung
+++++++++++++++++++++++

Nimmt man für jede Variable einen eigenen Skalierungsfaktor, also:
	`x rarr alpha x
	`y rarr beta y
	`z rarr gamma z

dann wird allgemein
	`alpha dot x = beta s y - alpha s x
	`beta dot y = alpha r x - alpha gamma x z - beta y
	`gamma dot z = alpha beta x y - gamma b z

oder
	`dot x = beta/alpha s y - s x
	`dot y = alpha/beta r x - (alpha gamma)/beta x z - y
	`dot z = (alpha beta)/gamma x y - b z

Ersichtlich werden insbesondere nicht die Koeffzienten der Dämpfungen,
d.h. der Rückkopplungen auf den eigenen Eingang, verändert;
hierzu wird eine Zeitkonditionierung benötigt.

Hingegen können Koeffizienten in gleiche Größenordnungen gebracht werden,
z.B. mit:
	`alpha = 2
	`beta = 3
	`gamma = 0.6

ergibt sich
	`dot x = 15 y - 10 x
	`dot y = 18.7 x - 0.4 xz - y
	`dot z = 10 x y - 2.67 z

Dieser Weg ist hier nur der Vollständigkeit halber aufgeführt;
die eingangs erwähnt intuitive Skalierung benutzt:
	`alpha = 20
	`beta = 25
	`gamma = 50

und führt zu:
	`dot x = 12.5 y - 10 x
	`dot y = 22.4 x - 40 xz - y
	`dot z = 10 x y - 2.67 z

und mit einer Zeittransformation von 1/10:
	`dot x = 1.25 y - 1.0 x
	`dot y = 2.24 x - 4 xz - 0.1y
	`dot z = x y - 0.27 z

Erpobung ergibt allerdings leichte Bereichsüberschreitungen;
eine Skalierung mit `alpha=beta=25` und einer Zeittransformation von 1/10 ergibt
	`dot x = 1.0 y - 1.0x
	`dot y = 2.8 x - 5.0 x z - 0.1y
	`dot z = 1.25 x y - 0.27 z

und weniger gravierende Bereichsüberschreitungen;
mit `alpha=beta=30` und `gamma=60` ergibt sich:
	`dot x = 1.0 y - 1.0x
	`dot y = 2.8 x - 6.0 x z - 0.1y
	`dot z = 1.5 x y - 0.27 z


Translation
-----------

Um die Werte von `z` symmetrisch um Null zu erhalten, könne eine Translation versucht werden:
	`z rarr z + delta
	`dot z rarr dot z`

Da ergibt:
	`dot x = y - x
	`dot y = 2.8 x - 6.0 xz - 6.0 delta x - 0.1 y = (2.8 - 6.0 delta) x - 6.0xz - 0.1y
	`dot z = 1.5 x y - 0.267z - 0.267 delta

Mit `delta=0.5`
	`dot x = y - x
	`dot y = -0.2 x - 6.0 xz - 0.1y
	`dot z = 1.5 x y - 0.267z - 0.133

Ein Versuch ergibt jedoch, dass für kleine `delta` die `z`-Werte immer noch positiv sind
und für `delta>0.2` die Chaos-Eigenschaft verschwindet, d.h. es nur noch Fixpunkte gibt.




Rückrechung
+++++++++

Angenommen, durch eine experimentielle Variation der Koeffizienten wird die Gleichung zu:
	`dot x = y  - x
	`dot y = 3.57 x - 10 x z - 0.1 y
	`dot z = 10 x y - 0.374 z

Rücktransformation mit den uniformen Faktor 100 und einer Zeittransformation von 10 ergibt:
	`dot x = 10y  - 10x
	`dot y = 35.7 x - x z -  y
	`dot z = x y - 3.74 z

also
	`s = 10
	`r = 35.7
	`b = 3.75

Anhang
=======

Schaltung ANRE
---------------

ANRE ist ein von der Univ. Paderborn entwickelter kleiner Schul-Analogrechner.

\center
[svg:analogrechner/lorenzattr_anre.svg]

Schaltung RG14
--------------

RG14 ist eine von mir entwickelter Analogrechner mit Stromeingängen für die Summierer und Integratoren.

\center
[svg:analogrechner/lorenzattr_rg.svg]

Graph (aus Wikipedia)
-----------------------

\center
[img:analogrechner/LorenzAttraktor.png]

Literatur
----------

\::Wikipedia
	[https://de.wikipedia.org/wiki/Lorenz-Attraktor]

\::Horowitz
	Frank Horowitz: "Build a Lorenz Attractor". \
[http://frank.harvard.edu/~paulh/misc/lorenz.htm]

\::Jung
	Andreas Jung: "Lorenz-System und seltsame Attraktoren" (1998).
	[http://andreas.welcomes-you.com/research/talks/lorenz/]

\::Anosov
 D.V. Anosov (originator): "Lorenz attractor". Encyclopedia of Mathematics (2011). \
[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Lorenz_attractor&oldid=12339]
 Original aus der Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098



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