Retro Computer Laboratory

Diese Seite ist nicht editierbar. Sie können den Quelltext sehen, jedoch nicht verändern. Kontaktieren Sie den Administrator, wenn Sie glauben, dass hier ein Fehler vorliegt.
Wenn Ihr Browser die Formeln nicht richtig darstellt, benutzen Sie bitte das {{:analogrechner:pendel.pdf|PDF}}.
<nimla>
Pendel mit großer Auslenkung

Autor: Rainer Glaschick, Paderborn
Datum: 2014-06-22

Auf einem Analogrechner soll ein Pendel  mit großer Auslenkung
simuliert werden.

Theorie
=======

Die Schwingung eines Pendels ist gegeben durch
	` ddot phi = - omega^2  sin phi

Für kleine Auslenkungen ist `sin phi ~~ phi`,
somit wird die übliche Lösung (Basisschaltung)für den linearen Oszillator:


\center
[svg:analogrechner/pendel-harmonisch.svg]

Der zweite Integrierer wird mit der anfänglichen Auslenkung des Pendels
initialisert, hier 0.75.
Da im folgenden mit dem Bogenmaß gerechnet wird, entspricht das 43°;
bei 45° ist die Formel ohnehin nicht mehr gültig.

Der Faktor vor dem ersten Integrierer bestimmt die Zeitkonstante;
mit dem Wert `sqrt 2 = 0.707` sollte die Periodendauer 2sec sein.


Ausführung
==========

Für die Bildung der Funktion `sin phi` gibt es zwei Möglichkeiten:

a) Benutzung der Näherung `sin phi ~~ phi - phi^3 / 6`
b) Bestimmung von `sin phi` aus `phi` durch Integration

In jedem Fall ist `sin phi` die Projektion in die horizontale Ebene.

Mit Näherungsformel
-----


Der Fehler ist maximal `phi^5/120`;
bei einer Auslenkung von 45° oder `pi /4` sind das 0.25%.
(Eine Tschebyscheff-Approximation mit 0.997x - 0.156x³
hat statt 1% nur 1&permil; Fehler; dies ist aber wegen der alternativen Lösung
über die Integration nicht weiter relevant.)

Zur analytische Bildung von `x^3` benötigt man jedoch zwei Multiplizierer,
also folgende Rechenschaltung
(Optimierungen durch invertierende Multiplizierer nicht berücksichtigt):

\center
[svg:analogrechner/pendel-polymult.svg:,]

Alternativ kann man `x^3 / 6` auch durch zweimalige Integration von x bilden:
	`int x dt = 1/2 x ^ 2
	`int x^2 dt = 1/3 x^3
	`int int x d^2t  = 1/6 x^3

Das ergibt folgende Rechenschaltung:

\center
[[svg:analogrechner/pendel-polyint.svg:,]


Mit Integration
------------------

Da die Ableitungen von `phi` ohnehin vorhanden sind, kann `sin phi`
als gleichzeitige Integration von `phi` erzeugt werden:
	`sin phi = -int dot phi cos phi  dt
	`cos phi = int dot phi sin  phi dt

Nunmehr werden zusätzlich zu den beiden Integratoren auch zwei Multiplizierer
benötigt:

\center
[svg:analogrechner/pendel-intint.svg:,]

Bemerkenswerterweise wird hier `phi` selbst nicht mehr benötigt.

Zwar sind mit `sin phi` die Auslenkung in x-Richtung
und mit `cos phi` die in y-Richtung verfügbar;
auf dem Oszilloskop oder Plotter sind aber nur mehr oder weniger lange
Kreisbögen zu sehen.

Es könnte aber Sinn machen, `phi` oder `sin phi` als Funktion der Zeit
darzustellen.


\ASCIIMATHML ASCIIMathML.js

</nimla>
 --- //[[rg@g-pb.de|Rainer Glaschick]] 2014-06-23 22:07//