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 <nimla>
 Sinusschwingungen mit dem Analogrechner erzeugen
 Autor: Rainer Glaschick, Paderborn
-Datum: 2014-02-01
+Als Lösung einer Differentialgleichung
+======================================
 Sinus- (und Cosinus-) Schwingungen werden auf dem Analogrechner
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 Diese Schaltung wird durch folgendes Gleichungssystem
-beschrieben:
+beschrieben (siehe [[TietzeSchenk]], S. 476-479):
     `-tau dot x = z
     `-tau dot y = x + epsi z
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 Mit `omega=1/tau` und `2 gamma = -epsi omega^2`
-ist die Lösung ([TietzeSchenk], Kap. 15.4):
+ist die Lösung:
     `x(t) = e^(-gamma t) sin(sqrt(omega^2 - gamma^2) *t)
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 Dabei ist 'K1' so klein wie möglich einzustellen,
 um Verzerrungen möglichst klein zu halten.
-Wenn -- wie meistens möglich -- eine Anfangsbedingung
+Eine Anfangsbedingung ist nicht notwendig, weil sich die Schwingungen selbst entfachen,
-gesetzt werden kann, ist dies ohnehin nicht zum Anfachen,
+wenn 'K1' groß genug ist, um die Schwingungen aufrecht zu erhalten.
-sondern nur zum Aufrechterhalten der Schwingungen notwendig.
+Das Signal wird am besten am Ausgang von 'A1' abgenommen, da es dort am wenigsten verzerrt ist.
+Am Ausgang von 'A2' ist das Signal um 90° phasenverschoben, also der Cosinus.
 Im "MiniAC" der Firma EAI ist ein Begrenzer-Zusatz vefügbar,
-der parallel zu einem zu begrenzenden Verstärker geschaltet
+der parallel zu einem zu begrenzenden Verstärker oder Integrator geschaltet
 wird und intern vorgespannte Dioden bereitstellt,
 womit zwar die Amplitude einstellbar wird,
 aber wegen der Dioden weder für kleine Spannungen geeignet noch
 temperaturstabil ist.
+Man kann den Begrenzer auch auf den Umkehrverstärker anwenden;
+allerdings ist dann bei gleicher Stellung von 'K1' eine größere Verzerrung
+vorhanden (die am Ausgang von 'A2' am geringsten ist).
 Anstatt die Amplitude des Integrators zu beschränken,
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 einem Schwellwert die (geringe) Mitkopplung `epsi` durch eine
 Gegenkopplung ersetzt, wenn die (negativen) Amplituden den durch 'K2'
-gegeben Wert unterschreiten (hier für den RG14 mit Stromeingängen):
+gegeben Wert unterschreiten (hier für den [http:rg14-mini RG-14 mini] mit Stromeingängen):
 [svg:analogrechner//SinusRG14Gleichrichter.svg:,]
-Auch diese Schaltung bewirkt durch die Kappung der negativen Amplituden
+Mit 'F6B' kann die Amplitude beeinflusst werden; je größer der Wert, desto größer
-eine Verzerrung, die umso deutlicher ist, je größer 'K1' eingestellt ist.
+die Amplitude. Setzt man 'F6A=9', ist die Amplitude sehr genau vorgegeben,
-Durch eine Abschwächung des Ausgangs des Gleichrichters kann eine
+aber die Verzerrung höher, wenn 'F4' nicht optimal (z.B. 0.02) ist.
-geringere Verzerrung erreicht werden, allerdings auf Kosten der
+Ist hingegen 'F6A=1', so ist das Signal unverzerrt, aber die Amplitude größer
-Genauigkeit der Amplitude: Je kleiner die Wirkung des Gleichrichters,
+als vorgegeben.
-desto größer ist die Amplitude, wenn 'K1' vergrößert wird.
-Mit einem Wert von 0.02 für K1 und 0.1 für K3 ergab sich eine Amplitude,
-die ungefähr der von K2 eingestellte Wert war.
-Eine Variation der Faktoren in der Integratorenkette, d.h. 'F1', 'F2' oder 'F3',
+Eine Variation der Faktoren in der Integratorenkette
 verändert nicht die Amplitude, sondern lediglich die Zeitkonstanten
 der Integratoren und damit die Frequenz.
-Deshalb kann die Limitierung auch nicht im Umkehrverstärker 'A3' erfolgen.
-Besser ist eine Einstellung mit zwei gleich eingestellten Faktoren
-vor den Integratoren, weil sonst die Amplituden der Ausgänge unterschiedlich sind.
 Das ergibt sich auch aus folgender Betrachtung im Frequenzbereich:
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 und die Stabilität der Frequenz entscheidend von der Amplitudenstabiliät abhängt.
-In [[TietzeSchenk]] wird eine Regelschaltung angegeben, bei der die
+Man könnte versuchen, die Mitkopplung abzuschalten, wenn die gewünschte Amplitude
+erreicht ist. Mit einem Vergleicher und geschaltetem Faktor ist das wenig aussichtsreich,
+weil man die Mitkopplung nur beim Überschreiten der Amplitude,
+und so nur für zu kurze Zeit ausschaltet.
+Dieser Ansatz findet sich als Regelschaltung in [[TietzeSchenk]], bei der die
 Amplitude mit Hilfe der Beziehung `sin^2 x + cos^2 x`
 in jedem Moment bestimmt wird;
-dann kann ein Regler eingesetzt werden, der
+dann kann ein (Proportional-) Regler eingesetzt werden, der
 die Amplitude auf den gewünschen Wert regelt,
 indem für das Potentiometer 'K1' ein Multiplizierer verwendet wird.
+Als Polynom-Approximation
+=========================
+Aus einer Dreieckschwingung kann über die folgende &rarr;[http://rclab.de/analogrechner/tschebyscheffapproximation Tschebyscheff Approximation]:
+    `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3
+eine Sinusschwingung mit einem Fehler von max. 8&permil; erzeugt werden.
+Man könnte versuchen, das Quadrat und die dritte Potenz von `x` durch zweimalige Integration
+zu erzeugen; allerdings veschiebt sich nach einiger Zeit der Mittelwert,
+so dass ein Quadrierer und ein Multiplizierer angesagt sind.
+Phasendifferenzmethode
+=======================
 Ein praktisch vergessener Ansatz für einen Sinusgenerator verwendet