Retro Computer Laboratory

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Sinusschwingungen mit dem Analogrechner erzeugen

Autor: Rainer Glaschick, Paderborn

Als Lösung einer Differentialgleichung
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Sinus- (und Cosinus-) Schwingungen werden auf dem Analogrechner
durch Lösung der Differentialgleichung
    `phi'' + omega^2 phi = 0`

durch zwei Integratoren und einen Inverter erzeugt:

[svg:analogrechner/sinusstandard.svg:,]

Wenn dabei der Anfangswert von x auf 1 und der von y auf 0
(oder umgekehrt) gesetzt werden,
entsteht eine Sinusschwingung der Amplitude 1.
Allerdings verringert sich im Laufe der Zeit die Amplitude
durch Verluste in den Kondensatoren und die Eingangsströme
der Operationsverstärker.

Sofern es notwendig ist, diese Verluste auszugleichen
und eine beliebig andauernde Schwingung zu erzeugen,
wird durch 'K1' eine positive Rückkopplung eingeführt.

Diese Schaltung wird durch folgendes Gleichungssystem
beschrieben (siehe [[TietzeSchenk]], S. 476-479):
    `-tau dot x = z
    `-tau dot y = x + epsi z
    `-z = y

wobei `tau` die Zeitkonstanten der beiden Integratoren
sind.

Elimination von z und y ergibt:
    `ddot x - epsi/tau^2 dot x + 1/tau^2 x = 0

Mit `omega=1/tau` und `2 gamma = -epsi omega^2`
ist die Lösung:
    `x(t) = e^(-gamma t) sin(sqrt(omega^2 - gamma^2) *t)

Demgemäß ist nur für exakt `gamma = 0` und damit `epsi = 0`
eine Schwingung mit konstanter Amplitude möglich;
andere Werte bedeuten ein exponentielles Ansteigen
der Amplitude.

Um eine stationäre und stablile Amplitude zu erreichen,
ist daher eine nichtlineare Komponente notwendig,
die die Amplitude bestimmt.

In der Analogrechentechnik ist es auf Grund des direkten Zugriffs
auf das Verbindungsfeld üblich, dort diskrete Komponenten einzufügen,
hier ein Paar antiseriell geschalteter Zenerdioden:

[svg:analogrechner/SinusStandardZener.svg:,]

Dies ist nicht nur aus systematischen Gründen unbefriedigend,
sondern erlaubt auch nicht das Einstellen der Amplitude durch
Rechensignale oder zumindest Koeffizientenpotentiometer.
Zudem haben Zenerdioden Sperrströme im µA-Bereich,
deren Wirkung unklar ist.
Dabei ist 'K1' so klein wie möglich einzustellen,
um Verzerrungen möglichst klein zu halten.
Eine Anfangsbedingung ist nicht notwendig, weil sich die Schwingungen selbst entfachen,
wenn 'K1' groß genug ist, um die Schwingungen aufrecht zu erhalten.

Das Signal wird am besten am Ausgang von 'A1' abgenommen, da es dort am wenigsten verzerrt ist.
Am Ausgang von 'A2' ist das Signal um 90° phasenverschoben, also der Cosinus. 

Im "MiniAC" der Firma EAI ist ein Begrenzer-Zusatz vefügbar,
der parallel zu einem zu begrenzenden Verstärker oder Integrator geschaltet
wird und intern vorgespannte Dioden bereitstellt,
womit zwar die Amplitude einstellbar wird,
aber wegen der Dioden weder für kleine Spannungen geeignet noch
temperaturstabil ist.
Man kann den Begrenzer auch auf den Umkehrverstärker anwenden; 
allerdings ist dann bei gleicher Stellung von 'K1' eine größere Verzerrung
vorhanden (die am Ausgang von 'A2' am geringsten ist).  

Anstatt die Amplitude des Integrators zu beschränken,
kann auch die Mitkopplung durch 'K1' ab einer vorgegebenen Amplitude
neutralisiert werden, indem ein (negierender) Gleichrichter ab
einem Schwellwert die (geringe) Mitkopplung `epsi` durch eine
Gegenkopplung ersetzt, wenn die (negativen) Amplituden den durch 'K2'
gegeben Wert unterschreiten (hier für den [http:rg14-mini RG-14 mini] mit Stromeingängen):

[svg:analogrechner//SinusRG14Gleichrichter.svg:,]

Mit 'F6B' kann die Amplitude beeinflusst werden; je größer der Wert, desto größer 
die Amplitude. Setzt man 'F6A=9', ist die Amplitude sehr genau vorgegeben,
aber die Verzerrung höher, wenn 'F4' nicht optimal (z.B. 0.02) ist.
Ist hingegen 'F6A=1', so ist das Signal unverzerrt, aber die Amplitude größer
als vorgegeben.

Eine Variation der Faktoren in der Integratorenkette
verändert nicht die Amplitude, sondern lediglich die Zeitkonstanten
der Integratoren und damit die Frequenz.
Das ergibt sich auch aus folgender Betrachtung im Frequenzbereich:

Integratoren haben eine konstante Phasenverschiebung von 90°
und einen linearen Abfall der Verstärkung, die bei `omega = R C`
0dB beträgt.
Da die Phasenverschiebung von der Frequenz unabhängig ist,
bleibt als Bedingung eine Schleifenverstärkung 1,
die damit von beiden Integratoren bereitgestellt wird.

Daraus ergibt sich aber auch, dass Oberwellen nicht stark gedämpft werden
und die Stabilität der Frequenz entscheidend von der Amplitudenstabiliät abhängt.

Man könnte versuchen, die Mitkopplung abzuschalten, wenn die gewünschte Amplitude
erreicht ist. Mit einem Vergleicher und geschaltetem Faktor ist das wenig aussichtsreich,
weil man die Mitkopplung nur beim Überschreiten der Amplitude,
und so nur für zu kurze Zeit ausschaltet.

Dieser Ansatz findet sich als Regelschaltung in [[TietzeSchenk]], bei der die
Amplitude mit Hilfe der Beziehung `sin^2 x + cos^2 x`
in jedem Moment bestimmt wird;
dann kann ein (Proportional-) Regler eingesetzt werden, der
die Amplitude auf den gewünschen Wert regelt,
indem für das Potentiometer 'K1' ein Multiplizierer verwendet wird.

Als Polynom-Approximation
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Aus einer Dreieckschwingung kann über die folgende &rarr;[http://rclab.de/analogrechner/tschebyscheffapproximation Tschebyscheff Approximation]: 
    `sin (pi/2 x) ~~ 1.5460 x - 0.5464 x^3
    
eine Sinusschwingung mit einem Fehler von max. 8&permil; erzeugt werden.
Man könnte versuchen, das Quadrat und die dritte Potenz von `x` durch zweimalige Integration
zu erzeugen; allerdings veschiebt sich nach einiger Zeit der Mittelwert,
so dass ein Quadrierer und ein Multiplizierer angesagt sind. 

Phasendifferenzmethode
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Ein praktisch vergessener Ansatz für einen Sinusgenerator verwendet
zwei Phasenbrücken, bei denen die Amplitude konstant ist, aber die Phase
zwischen fast 0° und fast 180° (pro Brücke) durch einen einzigen
variablen Widerstand eingestellt werden kann.
In der zweiten Brücke wird dann die Phasenverschiebung wieder subtrahiert,
so dass die Summe bei Resonanz immer 0° ist.
Diese Methode liefert mit geringem Aufwand Sinussignale mit geringem Klirrfaktor
und konstanter Amplitude bei Verstimmung eines einzigen Widerstands,
aber nicht gleichzeitig Sinus und Cosinus, und erfordert mehr Rechenelemente auf
einem Analogrechner als die dargestellten Rechenschaltungen,
so dass sie nicht weiter betrachtet werden.






Literatur:
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\::TietzeSchenk
    U. Titeze, Ch. Schenk: "Halbleiter-Schaltungstechnik."
    **10. Auflage**, Springer-Verlag (1993)




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