Unterschiede

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--- analogrechner:vektorlaenge [2017-03-17 15:54] – rainer
+++ analogrechner:vektorlaenge [2021-12-11 14:01] (aktuell) – rainer
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 Dies kann jedoch leicht zu Instabilitäten führen.
-Alternative Quadratsumme
+Zudem werden drei multiplikative Elemente verwendet, die meist knapp sind.
---------------------
-Wegen
-	`x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2 x y
-kann man die Quadratsumme auch mit einem zusätzlichen Addierer,
+Inverse Methode
-einem Quadrierer und einem Multiplizierer bilden
+---------------
-und hat dabei größere Zwischenwerte,
-da man, mit `x=y=0.1`, die Subtraktion `0.04 - 0.02`
+Verwendet wird die dritte Binomische Formel:
-anstelle der Addition `0.01+0.01` verwendet.
+	`v^2 - x^2 = (v+x)*(v-x) = y^2
-Dieser Vorteil ist aber für einen weiteren Addierer
-nicht ausreichend groß.
+und `v` durch einen einzigen offenen Verstärker bestimmt.
+Hierbei wird, zusätzlich zu zwei Addierern und einem offenen Vestärker, lediglich ein Quadrierer und ein Multiplizierer benötigt:
+[svg:analogrechner/Vektorlaenge2M.svg:,]
+Als Beispiel sei `x=y=0.1`,
+dann sind `y^2 = 0.01, v=0.141, v+x=0.241, v-x = 0.041, (v+x)*(v-x)=0.0099 `.
+Der offene Verstärker muss zwei Werte mit 1% vom Rechenbereich vergleichen (also 100mV bei 10V).
+Für `y=0` oder `x=0` sind keine Stabilitätsprobleme ersichtlich.
+Es werden nur zwei multiplikative Elemente verwendet; zwar wird gegenüber den folgenden Lösungen mit Division zusätzlich ein offener Verstärker benötigt; dafür entfallen die Instabilitäten bei der Division mit Null.
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 Wird anstelle der integrierten Schaltung eine Schaltung aus vorhandenen Elementen verwendet, so ergibt sich die Schaltung zu:
+   `v=x + y^2 / (v+x)
 [svg:analogrechner/VektorlaengeQ.svg:,]
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 Wegen `v ge |x|` ist auch für `x<0` die Summe `v+x ge 0`, so dass hier
 der Divisor nicht negativ ist.
+Auch hier kann allerdings `v+x > 1 ` werden, so dass -- nicht gezeigt -- skaliert werden muss.
 Die in der vorigen und dem folgenden Schema gezeigten Addierer sind
 **nicht** invertierend, weil bei der praktischen Umsetzung ohnehin
-Änderungen notwendig sind, da einige Dividierer beispielsweise invertierte
+Änderungen notwendig sind, da einige Dividierer invertierte
 Ergebnisse liefern, u.s.w.
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 Eine bessere Aussteuerung wird erreicht, wenn  anstelle des Quadrierers
 ein Multplizierer verwendet wird und die Faktoren vertauscht werden:
+   `v=x + y * (y / (v+x))
 [svg:analogrechner/Vektorlaenge.svg:,]
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 gebildet wird.
-Inverse Methode
----------------
-Man kann auch die zweite Binomische Formel verwenden
-und durch einen einzigen offenen Verstärker `v` bestimmen:
-	`y^2 = v^2 - x^2 = (v+x)*(v-x)
-Hierbei wird ein Quadrierer und ein Multiplizierer benötigt:
+Alternative Quadratsumme
+--------------------
-[svg:analogrechner/Vektorlaenge2M.svg:,]
+Wegen
+	`x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2 x y
+kann man die Quadratsumme auch mit einem zusätzlichen Addierer,
+einem Quadrierer und einem Multiplizierer bilden
+und hat dabei größere Zwischenwerte,
+da man, mit `x=y=0.1`, die Subtraktion `0.04 - 0.02`
+anstelle der Addition `0.01+0.01` verwendet.
+Dieser Vorteil ist aber für einen weiteren Addierer
+nicht ausreichend groß.
+Polynom-Approximation
+--------------------
+Wegen
+	`sqrt(x^2+y^2) >= max(x,y)
+kann man auch durch einen linearen Ausdruck approxmieren:
+      `sqrt(x^2 + y^2) ~~ alpha x + beta y
+Hierbei ist für `x > y` der Koeffizient `alpha` ungefähr 1;
+dies wird als "Alpha max plus beta min" Verfahren bezeichnet (siehe [https://en.wikipedia.org/wiki/Alpha_max_plus_beta_min_algorithm]  für Werte von `alpha` und `beta`).
+Damit für `y=0` der Funktionswert nicht kleiner als `x` wird, ist `alpha = 1` vorzuziehen.
+Dies entspricht einer Approximation
+      `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + 0.38 x if |x| <= 1
+wobei der Wert 0.38 durch Probieren ermittelt wurde. Mit dem Faktor `sqrt(2)-1 ~~ 0.414` wird der Fehler am Bereichsende minimiert.
+Besser ist freilich eine Taylorreihe (für `x<=1`) mit
+    `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + 0.41*x^2 if |x| <= 1
+benötigt aber einen Quadrierer (anstelle von dreien).
+Mit einem zusätzlichen Multiplizierer ist der Fehler unter 1%:
-Als Beispiel sei `x=y=0.1`, dann ist `v=0.14, v+x=0.24, v-x = 0.04`.
+     `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + (0.47 - 0.06x)*x^2 if |x| <= 1
+Die Koeffizienten sind wieder empirisch ermittelt; gegebenenfalls können optimale Koeffizienten über eine
+[https://rclab.de/analogrechner/tschebyscheffapproximation Tschebyscheff-Approximation] bestimmt werden.
-\ASCIIMATHML ./ASCIIMathML.js
+\ASCIIMATHML https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.4/latest.js?config=AM_CHTML
 </nimla>