Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- analogrechner:vektorlaenge [2020-12-10 16:34] – Approximation durch Potenzreihe rainer
+++ analogrechner:vektorlaenge [2021-12-11 14:01] (aktuell) – rainer
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 Wird anstelle der integrierten Schaltung eine Schaltung aus vorhandenen Elementen verwendet, so ergibt sich die Schaltung zu:
+   `v=x + y^2 / (v+x)
 [svg:analogrechner/VektorlaengeQ.svg:,]
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 Wegen `v ge |x|` ist auch für `x<0` die Summe `v+x ge 0`, so dass hier
 der Divisor nicht negativ ist.
+Auch hier kann allerdings `v+x > 1 ` werden, so dass -- nicht gezeigt -- skaliert werden muss.
 Die in der vorigen und dem folgenden Schema gezeigten Addierer sind
 **nicht** invertierend, weil bei der praktischen Umsetzung ohnehin
-Änderungen notwendig sind, da einige Dividierer beispielsweise invertierte
+Änderungen notwendig sind, da einige Dividierer invertierte
 Ergebnisse liefern, u.s.w.
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 Eine bessere Aussteuerung wird erreicht, wenn  anstelle des Quadrierers
 ein Multplizierer verwendet wird und die Faktoren vertauscht werden:
+   `v=x + y * (y / (v+x))
 [svg:analogrechner/Vektorlaenge.svg:,]
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 Wegen
-	`sqrt(x^2+y^2) > max(x,y)
+	`sqrt(x^2+y^2) >= max(x,y)
 kann man auch durch einen linearen Ausdruck approxmieren:
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 Dies entspricht einer Approximation
-      `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + 0.38 x if x <= 1
+      `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + 0.38 x if |x| <= 1
 wobei der Wert 0.38 durch Probieren ermittelt wurde. Mit dem Faktor `sqrt(2)-1 ~~ 0.414` wird der Fehler am Bereichsende minimiert.
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 Besser ist freilich eine Taylorreihe (für `x<=1`) mit
-    `sqrt(1+x*x) ~~ 1 + 0.41*x^2
+    `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + 0.41*x^2 if |x| <= 1
 benötigt aber einen Quadrierer (anstelle von dreien).
-Mit einem zusätzlichen Multiplizierer ist
+Mit einem zusätzlichen Multiplizierer ist der Fehler unter 1%:
-     `sqrt(1+x*x) ~~ 1 + (0.47 - 0.06x)*x^2 if x <= 1
+     `sqrt(1+x^2) ~~ 1 + (0.47 - 0.06x)*x^2 if |x| <= 1
 Die Koeffizienten sind wieder empirisch ermittelt; gegebenenfalls können optimale Koeffizienten über eine
 [https://rclab.de/analogrechner/tschebyscheffapproximation Tschebyscheff-Approximation] bestimmt werden.
-\ASCIIMATHML ./ASCIIMathML.js
+\ASCIIMATHML https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.4/latest.js?config=AM_CHTML
 </nimla>