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Pendel mit großer Auslenkung

Rainer Glaschick, Paderborn
2014-06-22

Auf einem Analogrechner soll ein Pendel mit großer Auslenkung simuliert werden.

Theorie

Die Schwingung eines Pendels ist gegeben durch

${\displaystyle \stackrel{..}{\phi }=-{\omega }^{2}sin\phi }$

Für kleine Auslenkungen ist ${\displaystyle sin\phi \approx \phi }$, somit wird die übliche Lösung (Basisschaltung)für den linearen Oszillator:

Der zweite Integrierer wird mit der anfänglichen Auslenkung des Pendels initialisert, hier 0.75. Da im folgenden mit dem Bogenmaß gerechnet wird, entspricht das 43°; bei 45° ist die Formel ohnehin nicht mehr gültig.

Der Faktor vor dem ersten Integrierer bestimmt die Zeitkonstante; mit dem Wert ${\displaystyle \sqrt{2}=0.707}$ sollte die Periodendauer 2sec sein.

Ausführung

Für die Bildung der Funktion ${\displaystyle sin\phi }$ gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Benutzung der Näherung ${\displaystyle sin\phi \approx \phi -\frac{{\phi }^3}{6}}$
2. Bestimmung von ${\displaystyle sin\phi }$ aus ${\displaystyle \phi }$ durch Integration

In jedem Fall ist ${\displaystyle sin\phi }$ die Projektion in die horizontale Ebene.

Mit Näherungsformel

Der Fehler ist maximal ${\displaystyle \frac{{\phi }^5}{120}}$; bei einer Auslenkung von 45° oder ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ sind das 0.25%¹.

Zur analytische Bildung von ${\displaystyle x^3}$ benötigt man jedoch zwei Multiplizierer, also folgende Rechenschaltung²:

Alternativ kann man ${\displaystyle \frac{x^3}{6}}$ auch durch zweimalige Integration von x bilden:

${\displaystyle \int xdt=\frac{1}{2}{x}^2}$

${\displaystyle \int x^{2}dt=\frac{1}{3}{x}^3}$

${\displaystyle \int \int x{d}^{2}t=\frac{1}{6}{x}^3}$

Das ergibt folgende Rechenschaltung:

[

Mit Integration

Da die Ableitungen von ${\displaystyle \phi }$ ohnehin vorhanden sind, kann ${\displaystyle sin\phi }$ als gleichzeitige Integration von ${\displaystyle \phi }$ erzeugt werden:

${\displaystyle sin\phi =-\int \stackrel{.}{\phi }cos\phi dt}$

${\displaystyle cos\phi =\int \stackrel{.}{\phi }sin\phi dt}$

Nunmehr werden zusätzlich zu den beiden Integratoren auch zwei Multiplizierer benötigt:

Bemerkenswerterweise wird hier ${\displaystyle \phi }$ selbst nicht mehr benötigt.

Zwar sind mit ${\displaystyle sin\phi }$ die Auslenkung in x-Richtung und mit ${\displaystyle cos\phi }$ die in y-Richtung verfügbar; auf dem Oszilloskop oder Plotter sind aber nur mehr oder weniger lange Kreisbögen zu sehen.

Es könnte aber Sinn machen, ${\displaystyle \phi }$ oder ${\displaystyle sin\phi }$ als Funktion der Zeit darzustellen.

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¹Eine Tschebyscheff-Approximation mit 0.997x - 0.156x³ hat statt 1% nur 1‰ Fehler; dies ist aber wegen der alternativen Lösung über die Integration nicht weiter relevant
²Optimierungen durch invertierende Multiplizierer nicht berücksichtigt

— Rainer Glaschick 2014-06-23 22:07